Figures fractales

Agrandissement sur la partie "orientale" du mini-ensemble (2.5E+23) :

$Figures fractales - Page 2 Mandel21$

On se déplace vers la "vallée des éléphants" du mini-ensemble. Le zoom est de 1E+25 (soit 100 milliards de fois le maximum autorisé par les nombres réels "standard").

$Figures fractales - Page 2 Mandel22$

Des escargots au pays des éléphants ! Zoom = 5E+25

$Figures fractales - Page 2 Mandel23$

Trois agrandissements successifs d'une zone de l'image précédente.

Zooms : 4.0E+27 --> 3.2E+28 --> 1.6E+30

$Figures fractales - Page 2 Mandel24$

Bonjour Jean !

Je ne m'en lasse pas. Superbe ! Wink

Merci Minibug Smile

Voici un agrandissement du centre de l'image précédente. On y voit un EJS ("Embedded Julia Set") qui se reproduit à toutes les échelles. Le zoom est 4.4E+31

$Figures fractales - Page 2 Mandel25$

Centre de l'image précédente. Zoom = 7.5E+32

Un haricot (rouge) fractal ?

$Figures fractales - Page 2 Mandel26$

Trois agrandissements successifs (7.0E+33 à 1.75E+35) au centre du haricot fractal.

Le centre de la dernière image est très embrouillé. Il méritera son propre agrandissement.

$Figures fractales - Page 2 Mandel27$

Voici cet agrandissement (8.75E+35).

On découvre un motif que nous avions déjà vu, mais avec ici 4 lobes au lieu de 2.

Un moteur fractal ?

Mais autour de quel axe tourne-t-il ?

$Figures fractales - Page 2 Mandel28$

Merci Jean pour toutes ces fascinantes créatures.
Je ne cesserai jamais d’être fasciné par des tels « monstres mathématiques » qui sont des courbes continues ne possédant de tangentes en aucun point !
Les premières traces de fractales datent de 300 avant JC. Il s'agit de la « Baderne d'Appolonius » qui est le plus vieil exemple de fractale

Baderne d'Appolonius:

Ces fractales étaient délaissés un certain moment car elles étaient considérés comme des aberrations qui ne mènent à rien.
L’honneur est à Benoit Mandelbrot qui fut le premier mathématicien à utiliser le terme 'fractale' en 1975 lors de la sortie de son livre « The fractal geometry of Nature »
C'est notamment grâce à lui et les travaux initiés par Fatou et Julia, que les recherches sur les fractales ont repris. Il est aussi l'un des premiers à avoir fait le rapprochement entre la géométrie fractale et la nature. Il est mort récemment (2010).

Merci papydall pour ces précisions Smile

Et voici l'agrandissement du "centre de rotation" (4.4E+36)

$Figures fractales - Page 2 Mandel29$

Merci Jean pour ces belles et nombreuses images...

Merci pour ces infos Papydall ! Wink

Concernant Mandelbrot j'aurai pensé que cela remonté à bien plus tôt...

En tout cas grâce à Papydall j'ai encore appris quelque chose aujourd'hui !
Merci Maître Papydall... king

Merci Minibug Smile

Tu peux aussi consulter sur Wikipedia les notices de Gaston Julia et Pierre Fatou

C'est l'été ! Avec un peu d'avance.

Profitons-en pour dessiner quelques parterres fleuris.

$Figures fractales - Page 2 Biomor11$

Le programme est une variante du programme biomorph fourni avec FBCroco.

N'hésitez pas à faire varier les paramètres, et à faire des agrandissements.

Code:: ' **********************************************************************
' Biomorphe de Pickover : f(z) = (z^p + c) / (z^p - c)
' **********************************************************************

' Parametres de base (a modifier eventuellement)

const p = 2
const Esc = 2 ' Rayon d'echappement
const cX = 1 ' Partie reelle de c
const cY = 0 ' Partie imaginaire de c

const PicWidth = 500 ' Largeur de l'image
const PicHeight = 500 ' Hauteur de l'image
const InsideCol = CL_NOIR ' Couleur de la partie interne

dim x0 = 0 ' Coord. X du centre
dim y0 = 0 ' Coord. Y du centre
dim MaxIter% = 200 ' Nb maxi d'iterations
dim ZoomFact = 1 ' Facteur de zoom
dim ColorFact = -1 ' Facteur de coloration

' **********************************************************************

' Parametres supplementaires

const HalfPicWidth = PicWidth \ 2
const HalfPicHeight = PicHeight \ 2

const LnEsc = log(Esc)
const Lnp = log(p)

dim ColFact, AbsCol, ScaleFact

SetParams()

' **********************************************************************

' Programme principal

dim x%, y%, btn%, key$

mode 3, "Clic gauche : zoom + / Clic droit : zoom - / S : sauvegarde / ESC : quitte", PicWidth, PicHeight

colormap PicWidth, PicHeight, fadr(biomorph)

repeat
  get_mouse x, y, btn

  if btn = 1 or btn = 2 then

   getcoord x0, y0, x, y

   SetZoom(btn = 1)
   SetParams()

   colormap PicWidth, PicHeight, fadr(biomorph)

  end_if

  key = inkey()
  if upper(key) = "S" then save()
until inkey() = "ESCAPE"

' **********************************************************************

' Sous-programmes

sub init_sub (xt, yt, c@, z@)
' Initialise les iterations au point (xt, yt)

  c = cmplx(cX, cY)
  z = cmplx(xt, yt)
end_sub

sub iter_sub (c@, z@, zn@)
' Calcul d'une iteration

  dim zp@
  zp = z ^ p
  zn = (zp + c) / (zp - c)
end_sub

sub SetParams ()
  ColFact = 0.01 * ColorFact
  AbsCol = abs(ColFact)
  ScaleFact = 4 / (PicHeight * ZoomFact)
end_sub

sub SetZoom (zoom%)
  if zoom then
   ZoomFact = 5 * ZoomFact
   MaxIter = 1.25 * MaxIter
   ColorFact = 1.1 * ColorFact
  else
   ZoomFact = ZoomFact / 5
   MaxIter = MaxIter / 1.25
   ColorFact = ColorFact / 1.1
  end_if
end_sub

function rgbcol% (iter%, q, v)
' Determine la teinte (Hue) et la saturation d'apres le "Continuous Dwell"

  dim angle, radius, h, s, r%, g%, b%

  if q < 0.5 then
   q = 1 - 1.5 * q
   angle = 1 - q
  else
   q = 1.5 * q - 0.5
   angle = q
  end_if

  radius = sqr(q)

  if (ColFact > 0) and odd(iter) then
   v = 0.85 * v
   radius = 0.667 * radius
  end if

  h = frac(angle * 10) * 360
  s = frac(radius)

  HSVtoRGB h, s, v, r, g, b
  return RGB(r, g, b)
end_function

function bmcol% (iter%, mz)
' Coloration pour les biomorphes de Pickover

  dim lmz, dwell, q, v

  v = 1
  lmz = log(mz)

  dwell = iter + log(LnEsc / lmz) / Lnp
  ' if dwell <= 0 then dwell = 0.1
  q = log(dwell) * AbsCol

  return rgbcol(iter, q, v)
end_function

function biomorph% (x%, y%)
' Iteration de la fonction complexe au pixel (x, y)

  dim iter%
  dim c@, z@, zn@
  dim xt, yt, mz

  xt = x0 + ScaleFact * (x - HalfPicWidth)
  yt = y0 + ScaleFact * (y - HalfPicHeight)

  init_sub xt, yt, c, z

  iter = 0
  mz = cabs(z)

  while iter < MaxIter and mz < Esc
   iter_sub c, z, zn
   z = zn
   mz = cabs(z)
   iter = iter + 1
  wend

  if abs(real(z)) < Esc or abs(imag(z)) < Esc then
  ' if iter > MaxIter then
   return InsideCol
  else
   return bmcol(iter, mz)
  end_if
end_function

sub getcoord (x0, y0, x%, y%)
' Calcule les coordonnees (x0,y0) du centre
' d'apres la position (x,y) de la souris

  x0 = x0 + ScaleFact * (x - HalfPicWidth)
  y0 = y0 + ScaleFact * (y - HalfPicHeight)
end_sub

sub save ()
' Sauvegarde l'image et les parametres

  img_save "biomorph.png"
  openout #1, "biomorph.par"
  write #1, x0, y0, MaxIter, ZoomFact, ColorFact
  closeout #1
end_sub

Toujours des biomorphes, mais cette fois avec la fonction de Fibonacci déjà étudiée dans les fractales de Newton :

$Figures fractales - Page 2 Biomor12$

Merci Jean pour toutes ces coruscantes images dignes d’être exposées dans une galerie d’Art.

C'est magnifique ! Toute la magie des fonctions mathématiques !

Merci Marc Smile

J'ai aussi essayé l'ensemble de Mandelbrot avec cette fonction mais curieusement les images sont moins belles ! Donc j'en reste à Newton et Pickover ici.

Une nouvelle formule, récemment discutée sur le site fractalforums.org :

f(z) = z^p * exp(a / z) + c

En faisant varier les paramètres p et a on obtient différentes figures.

Ici le programme pour p = 2 et a = -1

Code:: ' **********************************************************************
' Ensembles de Mandelbrot / Julia : f(z) = z^p * exp(a / z) + c
' **********************************************************************

' Parametres de base (a modifier eventuellement)

const PicWidth = 600 ' Largeur de l'image
const PicHeight = 400 ' Hauteur de l'image
const InsideCol = CL_BLANC ' Couleur de la partie interne

dim Nom$ ' Nom de l'image
dim p% ' Exposant entier > 1
dim a ' Coef. de l'exponentielle
dim x0 ' Coord. X du centre
dim y0 ' Coord. Y du centre
dim MaxIter% ' Nb maxi d'iterations
dim ZoomFact ' Facteur de zoom
dim DistFact ' Plus negatif ==> contour plus sombre
dim ColorFact ' 0 pour noir et blanc, positif pour bandes de couleur
dim cx, cy ' Constante c pour l'ensemble de Julia
dim Julia& ' Ensemble de Julia ?

' ----------------------------------------------------------------------
' Exemple
' ----------------------------------------------------------------------

' Nom p a x0 y0 maxit zoom dist col cx cy
init_params "MandelExp", 2, -1, -2, 0, 1000, 1, -2, -2, 0, 0

' **********************************************************************

' Parametres supplementaires

const HalfPicWidth = PicWidth \ 2
const HalfPicHeight = PicHeight \ 2

const Esc = 1.0E+10 ' Rayon d'echappement
const LnEsc = log(Esc)

dim Lnp : Lnp = log(p)

dim ColFact, AbsCol, ScaleFact

SetParams()

' **********************************************************************

' Programme principal

dim x%, y%, btn%, key$

mode 3, "Clic gauche : zoom + / Clic droit : zoom - / S : sauvegarde / ESC : quitte", PicWidth, PicHeight

colormap PicWidth, PicHeight, fadr(mandelbrot)

repeat
  get_mouse x, y, btn

  if btn = 1 or btn = 2 then
   getcoord x0, y0, x, y

   SetZoom(btn = 1)
   SetParams()

   colormap PicWidth, PicHeight, fadr(mandelbrot)
  end_if

  key = inkey()
  if upper(key) = "S" then save()
until key = "ESCAPE"

' **********************************************************************

' Sous-programmes

sub init_params(_Nom$, _p%, _a, _x0, _y0, _MaxIter%, _ZoomFact, _DistFact, _ColorFact, _cx, _cy)
' Initialise les parametres

  Nom = _Nom
  p = _p
  a = _a
  x0 = _x0
  y0 = _y0
  MaxIter = _MaxIter
  ZoomFact = _ZoomFact
  DistFact = _DistFact
  ColorFact = _ColorFact
  cx = _cx
  cy = _cy

  Julia = (cx <> 0) or (cy <> 0)
end_sub

sub init_sub (xt, yt, c@, z@, dz@)
' Initialise les iterations au point (xt, yt)

  dim r

  if Julia then
   c = cmplx(cx, cy)
   z = cmplx(xt, yt)
   dz = C_one
  else
   c = cmplx(xt, yt)
   z = cmplx(a / p, 0)
   dz = C_zero
  end_if
end_sub

sub iter_sub (c@, z@, dz@, zn@, dzn@)
' Calcul d'une iteration

  if z = C_zero then exit_sub

  dim zp@, zpm2@, e@

  zp = z^p ' z^p
  zpm2 = zp / (z * z) ' z^(p - 2)
  e = cexp(a / z)

  zn = zp * e + c
  dzn = (zpm2 * (p * z - a) * e) * dz

  if not Julia then dzn = dzn + 1
end_sub

sub SetParams ()
  ColFact = 0.01 * ColorFact
  AbsCol = abs(ColFact)
  ScaleFact = 4 / (PicHeight * ZoomFact)
end_sub

sub SetZoom (zoom%)
  if zoom then
   ZoomFact = 5 * ZoomFact
   MaxIter = 1.25 * MaxIter
   ColorFact = 1.1 * ColorFact
  else
   ZoomFact = ZoomFact / 5
   MaxIter = MaxIter / 1.25
   ColorFact = ColorFact / 1.1
  end_if
end_sub

function rgbcol% (iter%, a, v)
' Determine la teinte (Hue) et la saturation d'apres le "Continuous Dwell"

  dim angle, radius, h, s, rr%, gg%, bb%

  if a < 0.5 then
   a = 1 - 1.5 * a
   angle = 1 - a
  else
   a = 1.5 * a - 0.5
   angle = a
  end_if

  radius = sqr(a)

  if (ColFact > 0) and odd(iter) then
   v = 0.85 * v
   radius = 0.667 * radius
  end if

  h = frac(angle * 10) * 360
  s = frac(radius)

  HSVtoRGB h, s, v, rr, gg, bb
  return RGB(rr, gg, bb)
end_function

function mdbcol% (iter%, mz, mdz)
' Coloration pour les ensembles de Mandelbrot/Julia
' Retourne la couleur RGB d'un point en fonction de :
' iter = nb d'iterations
' mz, mdz = modules de z et de (dz/dc) a l'iteration iter
' Methode de coloration d'apres R. Munafo (http://mrob.com/pub/muency/color.html)

  dim lmz, dist, dwell, dscale, a, v

  ' Determiner la luminosite (Value) d'apres l'estimateur de distance

  lmz = log(mz)

  dist = p * mz * lmz / mdz
  dscale = log(dist / ScaleFact) / Lnp + DistFact

  if dscale > 0 then
   v = 1
  elseif dscale > -8 then
   v = 1 + dscale / 8
  else
   v = 0
  end_if

  dwell = iter + log(LnEsc / lmz) / Lnp
  a = log(abs(dwell)) * AbsCol
  return rgbcol(iter, a, v)
end_function

function mandelbrot% (x%, y%)
' Iteration de la fonction complexe au point (x, y)

  dim iter%
  dim c@, z@, dz@, zn@, dzn@
  dim xt, yt, mz, mdz

  xt = x0 + ScaleFact * (x - HalfPicWidth)
  yt = y0 + ScaleFact * (y - HalfPicHeight)

  init_sub xt, yt, c, z, dz

  iter = 0
  mz = cabs(z)

  while iter < MaxIter and mz < Esc
   iter_sub c, z, dz, zn, dzn
   z = zn
   dz = dzn
   mz = cabs(z)
   iter = iter + 1
  wend

  if iter = MaxIter then return InsideCol

  mdz = cabs(dz)
  return mdbcol(iter, mz, mdz)
end_function

sub getcoord (x0, y0, x%, y%)
' Calcule les coordonnees (x0,y0) du centre
' d'apres la position (x,y) de la souris

  x0 = x0 + ScaleFact * (x - HalfPicWidth)
  y0 = y0 + ScaleFact * (y - HalfPicHeight)
end_sub

sub save ()
' Sauvegarde l'image et les parametres

  img_save Nom + ".png"
  openout #1, Nom + ".exp"
  write #1, Nom, p, a, x0, y0, MaxIter, ZoomFact, DistFact, ColorFact, cx, cy
  closeout #1
end_sub

Ici la figure globale et 2 agrandissements

$Figures fractales - Page 2 Mandel10$

Autre exemple avec p = 2 et a = 1.

Vue générale et agrandissements dans la région de droite.

$Figures fractales - Page 2 Mandel31$

Agrandissements de la zone précédente. On reconnaît les structures classiques de l'ensemble de Mandelbrot, reliées par des éléments en forme de chaînes.

$Figures fractales - Page 2 Mandel32$

Agrandissement de l'image précédente, puis zoom sur la partie centrale :

$Figures fractales - Page 2 Mandel11$

Nombre de messages : 2693 Date d'inscription : 13/09/2009

Toujours plus joli, bravo !
cheers

J'ai essayé et j'ai un problème pour lancer ton dernier programme :
Error : IF without corresponding END_IF : line 160
---> if (ColFact > 0) and odd(iter) then
C'est normal ???
scratch

Nombre de messages : 11 Date d'inscription : 20/09/2008

Merci jjn4 Smile

Tu utilises bien Crocodile Basic pour ce programme ? Ton message d'erreur ressemble à un message de Panoramic.

Si l'on voulait créer ces images depuis Panoramic, il faudrait faire une DLL.

En attendant, voici les deux dernières images de la série précédente : toujours des agrandissements successifs de la partie centrale, jusqu'au mini-ensemble de Mandelbrot.

$Figures fractales - Page 2 Mandel33$

Merci Jean pour tous ces partages !

J’ai testé avec plaisir. Le Croco est toujours aussi vif, les temps de calculs et d’affichage sont courts. Very Happy

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