Fractales de Newton

La méthode de Newton est un bon moyen d'obtenir des images intéressantes, d'autant plus qu'on n'a pas besoin de forts agrandissements.

Le site https://beaute-fractale.monsite-orange.fr/index.html donne de très nombreux exemples. Nous allons essayer d'en reproduire quelques-uns avec FBCroco (les images ne seront pas identiques car les méthodes de coloration sont différentes).

Nous partirons du programme newton.bas tel qu'il est fourni dans la version 0.33 de FBCroco. Pour chaque exemple, nous ne donnerons que les lignes qui sont à changer dans le programme original.

Commençons donc avec un polynôme :

Code:

.......................................................................
' Parametres de base (a modifier eventuellement)

' Fonction polynome : f(z) = 5 + 12*z + 15*z^2 + 3*z^3 + 9*z^4 + 14*z^5

const p = 5  ' Degre du polynome

data  5, 0   ' Coefficients
data 12, 0
data 15, 0
data  3, 0
data  9, 0
data 14, 0

const PicWidth  = 600      ' Largeur de l'image
.......................................................................

' Programme principal

dim Coef@(p), i%, coef_x, coef_y

for i = 0 to p
  read coef_x, coef_y
  coef(i) = cmplx(coef_x, coef_y)
next i

dim x%, y%, btn%
.......................................................................

' Sous-programmes
.......................................................................
sub iter_sub (z@, f@, df@)
' Calcul d'une iteration

  CPoly_Deriv z, coef(), f, df
end_sub
.......................................................................

La procédure CPoly_Deriv, introduite dans la version 0.33 de FBCroco, calcule le polynôme (f) et sa dérivée (df) au point z.

Voici l'image obtenue, et un agrandisement dans la partie centrale :



Sur l'image de gauche les gros points verts représentent les 5 racines du polynôme : une racine réelle (-1) et 4 racines complexes, conjuguées 2 à 2 (donc symétriques par rapport à Ox).

Autre exemple, avec une fraction rationnelle :

Code:

.......................................................................
' Parametres de base (a modifier eventuellement)

' Fraction rationnelle :
' f(z) = (1 + z + z^2 + ... + z^(p-2)) / (1 + z + z^2 + ... + z^(p-1))

const p = 9

const PicWidth  = 600      ' Largeur de l'image
.......................................................................

' Programme principal

dim coef1@(p-2), coef2@(p-1), i%

for i = 0 to p - 2
  coef1(i) = C_one
  coef2(i) = C_one
next i

coef2(p-1) = C_one

dim x%, y%, btn%
.......................................................................

' Sous-programmes
.......................................................................

sub iter_sub (z@, f@, df@)
' Calcul d'une iteration

  CFrac_Deriv z, coef1(), coef2(), f, df
end_sub
.......................................................................

Les tableaux coef1() et coef2() contiennent les coefficients du numérateur et du dénominateur.

C_one est une variable prédéfinie de FBCroco, égale au nombre complexe (1,0)

La procédure CFrac_Deriv calcule la fraction rationnelle (f) et sa dérivée (df) au point z

Et voici le résultat :



On retrouve bien les 7 racines (degré du numérateur : p - 2 = 7) dont une réelle.

La fonction de Fibonacci (déjà présentée dans le topic éponyme) peut être étendue au cas des nombres complexes.

Et comme elle a des racines (au moins les racines réelles pour x < 0) on peut lui appliquer la méthode de Newton.

Les images obtenues sont très intéressantes. Ici l'image de base (au centre) et deux agrandissements dans les parties gauche (x < 0) et droite (x > 0)



Et voici les codes à modifier dans le programme newton.bas :

Code:

' Parametres de base (a modifier eventuellement)

const SQR5  = sqr(5)
const PHI   = (1 + SQR5) / 2  ' Nombre d'or
const LNPHI = log(PHI)

const PicWidth  = 500      ' Largeur de l'image
const PicHeight = 500      ' Hauteur de l'image

dim x0          = 0        ' Coord. X du centre
dim y0          = 0        ' Coord. Y du centre
dim MaxIter%    = 200      ' Nb maxi d'iterations
dim ZoomFact    = 1        ' Facteur de zoom
dim ColorFact   = -3       ' Positif pour dessiner des bandes

const InsideCol = CL_NOIR  ' Couleur des points non-convergents

...............................................................

sub iter_sub (z@, f@, df@)
' Calcul d'une iteration

  dim p@, s@, c@

  p = PHI^z
  s = csin(PI * z) / p
  c = ccos(PI * z) / p

  f  = (p - c) / SQR5
  df = ((p + c) * LNPHI + PI * s) / SQR5
end_sub