Les articles de Jean Debord

 

Propriétés élémentaires des Julia et du Mandelbrot

M : l’ensemble fractal de Mandelbrot
J(C) : l’ensemble fractal de Julia de paramètre C

1) Le point 0 appartient à J(C) si et seulement si le point C appartient à M.
2) L'ensemble de Mandelbrot est symétrique par rapport à l'axe des abscisses (axe des réels).
3) L'ensemble de Mandelbrot est inclus dans le disque fermé centré en 0 de rayon 2.
4) Chaque ensemble de Julia est symétrique par rapport au point 0 (invariant par rotation de 180°).
5) L'ensemble de Julia J(C barre) est le symétrique de l'ensemble J(C) par rapport à l'axe des abscisses (où C barre est le complexe conjugué de C, c'est à dire le symétrique de C par rapport à l'axe des abscisses).
6) Conséquence immédiate de la propriété précédente : si C=C barre, autrement dit pour C réel, l'ensemble de Julia J(C) est de plus symétrique par rapport à l'axe des abscisses, donc également symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
7) L'ensemble de Julia de paramètre C est inclus dans le disque fermé centré en 0 de rayon max(2;|C|).
8 ) Pour C=0, l'ensemble de Julia J(0) est le disque fermé centré en 0 de rayon 1.
9) Pour C=-2, l'ensemble de Julia J(-2) est le segment [-2,0].

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On utilise aussi les fonctions dérivées de l'exponentielle complexe, dans ce cas le paramètre C est généralement introduit multiplicativement (plutôt qu'additivement) dans la formule d'itération, par exemple on parle du "Julia de sinus" pour la formule :
Zn+1 = C sin(Zn),
qui s'écrit en coordonnées réelles :
Xn+1 = sin(Xn) * [ (Cx−Cy) exp(Yn) + (Cx+Cy) exp(−Yn) ]
Yn+1 = sin(Xn) * [ (Cx+Cy) exp(Yn) − (Cx−Cy) exp(−Yn) ].

Parmi les autres formules couramment utilisées on peut citer :
Zn+1 = C i cos(Zn)
Zn+1 = C exp (Zn)
Zn+1 = C Zn (1 − Zn)
Zn+1 = sin(Zn) + exp(z) + C
Zn+1 = sin(Zn) + exp(C) + z
Les fractales obtenues grâce aux deux dernières formules furent appelées "biomorphs" par C.A. Pickover.