Mathématiques pour les transformations du plan

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rem             Les mathématiques pour
rem           les transformations du plan
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rem Les principales transformations du plan sont :
rem * les translations,
rem * les changements d’échelles,
rem * les symétries,
rem * les rotations,
rem * les cisaillements.
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rem Le calcul matriciel résout tous ces problèmes.
rem Soient (x,y) les coordonnées d’un point du plan cartésien.
rem On peut considérer ces coordonnées comme une matrice de 1 ligne sur 2 colonnes
rem que nous noterons matrice (1 X 2) (lire matrice 1 croix 2).
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rem La matrice générale :
rem  
rem   A B
rem   C D
rem
rem est une matrice de 2 lignes sur 2 colonnes et sera notée matrice (2 X 2)
rem (lire matrice 2 croix 2)
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rem Le produit matriciel de la matrice (1 X 2) et de la matrice (2 X 2) donne comme
rem résultat (A*x+C*y  B*x+D*y)
rem
rem Donc, tout point du plan (x,y) multiplié par la matrice (2 X 2) a pour transformé
rem un nouveau point du plan (xp,yp) tel que :
rem    ____________________
rem   |                    |
rem   |   xp = A*x + C*y   |
rem   |   yp = B*x + D*y   |
rem   |____________________|
rem
rem La transformation obtenue dépendra des valeurs données aux variables A,B,C,D.
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rem Pour information:
rem *****************
rem Voici les différentes matrices de transformations:
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rem Les changements d’échelles sont contrôlés par la matrice :
rem
rem  A  0
rem  0  D
rem
rem En effet le produit matriciel donne A*x  D*y d’où xp = A*x ; yp = D*y
rem ----------------------------------------------------------------------------
rem Les symétries : les matrices qui contrôlent les symétries ne sont que des cas
rem particuliers de la matrice changement d’échelles dans laquelle A et/ou D sont
rem négatifs.
rem
rem La matrice:
rem
rem  -1  0
rem   0  1
rem
rem produira une symétrie par rapport à l’axe des Y
rem En effet le produit matriciel donne xp = -x ; yp = y
rem
rem La matrice:
rem
rem  1  0
rem  0 -1
rem
rem produira une symétrie par rapport à l’axe des X
rem En effet, le produit matriciel donne xp = x ; yp = -y
rem
rem La matrice:
rem
rem  -1  0
rem   0 -1
rem
rem produira une symétrie par rapport aux deux axes c.à.d une symétrie
rem centrale par rapport à l’origine.
rem En effet, le produit matriciel donne xp = -x ; yp = -y
rem ----------------------------------------------------------------------------
rem Les cisaillements : les matrices qui contrôlent les cisaillements sont
rem
rem   1  0
rem   C  1
rem
rem donnera un cisaillement en x
rem
rem   1  B
rem   0  1
rem
rem donnera un cisaillement en y
rem
rem   1  B
rem   C  1
rem
rem donnera un cisaillement dans les deux directions
rem ----------------------------------------------------------------------------
rem Les rotations : Les matrices qui contrôlent les rotations sont :
rem
rem   cos(theta)  sin(theta)
rem  -sin(theta)  cos(theta)
rem
rem Les coefficients A,B,C,D de la matrice générale sont dans ce cas :
rem A = cos(theta) ; B = sin(theta) ; C = -sin(theta) ; D = cos(theta)
rem Avec theta l’angle de rotation du point autour de l’origine des axes.
rem Cet angle est exprimé en RADIANS.
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rem &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
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rem
rem Application : rotation d’un polygone

dim n : n = 4  : ' Nombre des sommets du polygone, ici c'est un carré
dim x(n+1),y(n+1)
dim A,B,C,D    : ' termes de la matrice rotation
dim xc,yc      : ' coordonnées du centre de l'écran
dim theta      : ' angle de rotation
dim p          : ' pas de variation de l'angle de rotation

caption 0 ,"Rotation d'un polygone autour de l'origine des axes"
picture 10 : full_space 10 : 2d_target_is 10
 
p = pi/18 :  '  essayez avec p = pi/72 ou p = pi/36  ou p = pi/9 ou p = pi/144
xc = width_client(10)/2  : ' coordonnées du centre de l'écran et ...
yc = height_client(10)/2 : ' ... aussi centre de rotation

Init_polygone() : ' Mémorisation des somments du polygone
Trace_axes()    : ' Tracé des axes

' Faire tourner le polygone autour du centre de rotation par un pas de p radians
for theta = 0 to 2*pi step p
    Rotation(theta) : ' Faire tourner le polygone
    pause 200       : ' pour suivre la rotation, valeur à modifier ou supprimer
next theta
end
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rem &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
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' Coordonnées relatives par rapport au centre de l'écran des sommets du polygone
' (ici un carré de 150 pixels de côté)

DATA 0,0     : ' 1er point
DATA 150,0   : ' 2ème point
DATA 150,150 : ' 3ème point
DATA 0,150   : ' 4ème point

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' Retourne les coefficients de la matrice(2 X 2) de rotation autour de l'origine
SUB Matrice_Rotation(theta)
    A = cos(theta) : B = sin(theta) : C = 0-sin(theta) : D = cos(theta)
END_SUB
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' Mémorisation des somments du polygone
SUB Init_Polygone()
    dim_local i
    for i = 1 to n :read x(i):read y(i): next i
    x(n+1) = x(1) : y(n+1) = y(1) : ' Pour fermer le polygone
END_SUB
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' Tracer des axes
SUB Trace_Axes()
    2d_line 0,yc,2*xc,yc : ' tracer l'axe des X
    2d_line xc,0,xc,2*yc : ' tracer l'axe des Y
END_SUB
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' Effectuer une rotation du polygone d'un angle theta en RADIANS
' puis tracer le nouveau polygone
SUB Rotation(theta)
    Dim_local xp,yp,i
    Matrice_Rotation(theta)  : ' Calcul des coefficients de la matrice de rotation  
    xp = A * x(1) + C * y(1) : ' Calcul des nouvelles coordonnées du 1er point ...
    yp = B * x(1) + D * y(1) : ' ... après avoir subi la rotation
    2d_poly_from xc+xp,yc+yp : ' Tracé du point de départ du polygone
    for i = 2 to n + 1
        xp = A * x(i) + C * y(i) : ' Calcul des nouvelles coordonnées du point ...
        yp = B * x(i) + D * y(i) : ' ... suivant après avoir subi la rotation
        2d_poly_to xc+xp,yc-yp   : ' Relier au point suivant
    next i
END_SUB
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rem &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
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Xp = A*x + C*y
Yp = B*x + D*y

B = 0
C = 0
Xp = A*x
Yp = D*y

Rem Symétrie par rapport à l’axe des Y
Xp = -x
Yp = y
Rem Symétrie par rapport à l’axe des X
Xp = x
Yp = -y
Rem Symétrie par rapport aux 2 axes c-à-d symétrie centrale par rapport à l’origine
Xp = -x
Yp = -y

REM Cisaillent en X
A = 1
C = 0
D = 1
Xp = x
Yp =B*x + y
Rem Cisaillement en Y
A = 1
B = 0
D = 1
Xp = x + C*y
Yp = y
Rem Cisaillement dans les 2 directions
A = 1
D = 1
Xp = x +C*y
Yp = B*x + y

REM theta est l’angle de rotation en radians
REM vous pouvez utiliser les degrés en déclarant DEGREES dans le code
A = cos(theta)
B = sin(theta)
C = 0-sin(theta)
D = cos(theta)
Xp = A*x + C*y
Yp = B*x + D*y