Problème de math

Bonjour,

Une petite "spéciale" pour Papydal et les matheux du forum...

J'ai un petit calcul que je n'arrive pas à résoudre pour mon aquarium :

Actuellement je change 30% de flotte toutes les 3 semaines.
L'inconvénient c'est que cela fait un changement d'eau brutal pour les poipoi. (pb de chlore, javel, température,etc...)

Je souhaiterai donc faire ce changement d'eau de manière plus progressive, par exemple un peu toute les semaines (voir tous les jours).

Donc au départ, si je raisonne à la semaine, je me suis dis: je change 10% chaque semaine...

Le problème c'est que cela ne marche pas !

La 1ere semaine : ok je change 10%
La 2eme semaine : je change à nouveau 10%, mais du coup, j’enlève également un peu de la flotte du changement de la 1ère fois.

Donc au total au bout des 3 semaines, mon renouvellement n'est pas équivalent à un changement d'eau en une seule fois de 30%...

Combien de % dois-je enlever chaque semaine ?
Une chose est sûre c'est que c'est > à 10% ;-)

J'arrive +/- à ce résultat : T = 11.2 %
Quelqu'un peut me confirmer ?

Le tout est de savoir combien d'eau de la première fois tu enlèves lors du deuxième changement,
c'est un peu trop vague.....

Et si tu mettais dans le fond l'eau que tu renouvelles, et que tu puises en surface l'eau usée...
Ou l'inverse, mais c'est moins pratique...
quoique...

blague à part, ygeronimi, la 2ème fois, s'il reprend 10% du total, il re enlève 10% de ce qu'il a mis la 1ère fois, enfin il me semble.
Et après... ça se complique !

Bon, d'accord pour la rigueur, mais d'un autre côté si on change 10% toutes les semaines, est-ce que les pensionnaires y verront une différence ? c'est vrai qu'on ne leur demande pas leur avis... ou du moins qu'ils peuvent difficilement le donner (sauf à tourner de l'oeil...)

Celà deviendrait gênant s' il s'entraînait tous pour le dos crawlé...

JL35 a écrit:

Bon, d'accord pour la rigueur, mais d'un autre côté si on change 10% toutes les semaines, est-ce que les pensionnaires y verront une différence ?

Oui car le taux de nitrates , phosphate etc... diminue...
La deuxième semaine : j'enlève 10% du mélange (90% eau initiale +10% eau_1ere_semaine)

Au final j'obtiens cette formule :
Taux = 1 - racine_cubique(0.7) = 0.112... soit 11.2% (reste à confirmer si c'est juste...)

Pour moi il faut changer chaque semaine 1/3 de 30%

soit pour un réservoir de 100L (30L=3 semaines) donc il faut changer 10L chaque semaine, ce qui fait 10% certes, mais il ne faut pas raisonner en % mais en valeur fixe (30% du réservoir/3 chaque semaine)

Je pense que ton raisonnement n'est pas rigoureux, étant donné que chaque fois que tu prélèves, tu reprélèves un peu (10%) de ce que tu as changé la semaine précédente, ce qui complique tout.
D'un autre côté je n'ai pas la prétention de confirmer la formule de Nardo, je lui fais confiance, bien obligé, comme ses petits pensionnaires !

ça ne va pas être facile de doser les 11,2%... à la pipette ?

Papydall, doit avoir la dalle le papy! Il n'est pas encore intervenu!

Salut tout le monde.

Nardo, je viens de voir ton problème.
Et j’avoue que c’est un peu coriace !

Nardo26 a écrit:

Combien de % dois-je enlever chaque semaine ?
Une chose est sûre c'est que c'est > à 10% ;-)

J'arrive +/- à ce résultat : T = 11.2 %
Quelqu'un peut me confirmer ?

Je pense aussi que tu dois enlever chaque semaine plus de 10%.
En effet, si tu changes la 1ère semaine 10% et 10% la semaine suivante : cette dernière quantité contient 10% des 10% (soit 1%) de la 1ere semaine et 10% du reste qui est 90% (soit 9%) donc au total tu as 1% + 9% = 10% d’eau changée. Les 90% restants contiennent 10% (soit 9% du total) qui datent d’une seule semaine et 90% (soit 81% du total) qui datent de deux semaines.
Donc en 2 semaines on a :
10% d’eau pure
9% d’eau d’une semaine
81% d’eau de 2 semaines

La 3ème semaine tu changes 10% : on obtient donc :
10% d’eau pure et les 90% restant se repartissent comme ceci :
90% des 10% de la semaine précédente (soit 9%) d’une semaine
90% des 9% de la semaine précédente (soit 8.1%) de 2 semaines
90% des 81% de la semaine précédente (soit 72.9%) de 3 semaines

Au bout de 3 semaines on a :
10% d’eau pure
9% d’eau inchangée depuis 1 semaine
8.1% d’eau inchangée depuis 2 semaines
72.9 % d’eau inchangée depuis 3 semaines

Par contre, si on change toutes les 3 semaines 30%, on a au bout de 3 semaines :
30% d’eau pure
70% d’eau inchangée depuis 3 semaines.
Conclusion :
Tu dois changer chaque semaine plus de 10%.
Combien ? Je ne sais pas !
Mais la valeur que tu as avancée 11.2% me semble plausible.
Bon calcul!

Bon, voici la solution :

Soit X le pourcentage d’eau à changer chaque semaine pour aboutir à 70% (100% - 30%) d’eau inchangée après 3 semaines.
On a : (100-X)³/100³ = 70%
Soit (100-X)³/100³ = 0.70
Tout calcul fait, on obtient :
X = 100(1-0.7^1/3 = 11.209%

Nardo26 tu as raison .

Le même raisonnement si on veut changer l’eau quotidiennement pour aboutir à 70% d’eau inchangée en 21 jours.
On aura :
(100-X)²¹/100²¹ = 70%
Soit (100-X)²¹/100²¹ = 0.70
Tout calcul fait, on obtient :
X = 100(1-0.7²¹ = 1.68%

Code:

print "Pour chaque semaine : " ; 100*(1-power(0.7,1/3)); " %"
print "Ou quotitiennement  : " ; 100*(1-power(0.7,1/21)); " %"

Formule générale :

X = 100*(1-Racine_Nième(0.7))

Avec
X : pourcentage d’eau à changer
Racine_Nième : avec N = nombre de fois pour faire le changement en tenant compte qu’au bout de 3 semaines ( N = 3) ou équivalent en 21 jours ( N = 21) on doit aboutir à 70% (soit 0.7) d’eau inchangée.

Pour vous amuser :

X = 100*(1-Racine_Cinq_Cent_Quatrième(0.7)) permet le calcul de faire le changement toutes les heures !

Code:

 print "Changement horaire  : " ; 100*(1-power(0.7,1/504)); " %"

Bonjour, c'est bien beau tout ça, mais ça reste théorique: les produits n'ont pas tous la même densité et certains vont couler (et seront donc plus concentrés en bas), d'autres auront la même densité que l'eau et d'autres encore seront moins dense que l'eau et seront plus concentrés en surface et cela aura d'autant plus d'importance si le prélèvement en eau est faible car selon la position de la pompe qui retire l'eau certains produits risquent de se concentrer alors que d'autres seront bien recyclés.

Merci à tous de vous être penché sur mon problème !

Merci Papydal : cela me rassure et j'espère que tu te sera amusé un petit moment...

Jicehel, tu as probablement raison dans le cas d'une eau stagnante. mais mon bac en temps normal est bien brassé en surface et le flux de l'eau provoqué par la filtration m'assure qu'aucun endroit n'est "inerte".

Je peux te garantir que tous les produits dérivés du cycle de l'azote, notamment les Nitrates sont bien mélangés dans la flotte...

Les algues sur les vitres, en dehors du soleil, ainsi que les plantes flottantes sont là pour prouver qu'elles ont de quoi becqueter

JL35 : je me vois mal faire mon dosage à la pipette... un goutte-à-goutte, style gard[bip]na associé avec une électrovanne et un programmateur journalier fera très bien l'affaire...
les 11.2% par rapport aux 10% ne font apparemment pas grande différence (d’où ce calcul pour confirmer) mais tout dépend de la contenance du bac...
Dans mon cas, il me faudrait changer (en arrondissant) 39 litres/semaine ou 6 litres/jour...

On peur aussi calculer cela de la manière suivante:

En 3 fois, il faut enlever 30 % du volume initial. Si l'on veut enlever vraiment 10 % à chaque opération, et en supposant qu'on enlève d'abord tout ce qu'il faut enlever en une fois, avant d'ajouter l'au de remplacement, cela conduit à la sequence suivante:
1. On enlève 10 %, soit 1/10 du volume initial. Il reste donc 9/10. On complète par la même quantité.
2. on enlève 1/9 du volume total. Ceci signifie qu'on enlève 1/9 des 9/10 du volume initial et une partie de l'au ajoutée. I/9 de 9/10 représentent exactement 1/10, soit 10 %. Il reste donc 8/10.
3. On enlève 1/8 du colume initial. Ceci signifie qu'on enlève 1/8 du volume initial et une partie de l'au ajoutée à l'étape 1 et une partie de l'eau ajoutée à l'étape 2. 1/8 de 8/10 représentent exactement 1/10, soit 10 %. Il reste donc 7/10 soit 70 % du volume initial.

Rapporté à un volume initial de 300 l, ceci représente:
1. 300*1/10 = 30 litres
2. 300*1/9 = 33.333 litres
3. 300*1/8 = 37.5 litres

Pour avoir un volume constant, on peut utiliser chaque fois 1/9. Le volume restant est exactement1.
1. V1 = V0*8/9
2. V2 = V1*8/9 = V0*8/9*8/9 = V0*(8/9)^^2
3. V3 = V2*8/9 = V1*8/9*8/9*8/9 = V0*(8/9)^^3

(8/9)^^3 = 0,702 ce signifie pratiquement 70 %

Donc, si tu enlèves toutes les semaines 1/9 de ton volume, tu as remplacé 30 % en 3 semaines.

Merci Klaus !

En partant sur un changement de 11.2% par semaine, je me suis amusé à calculer l'évolution du mélange au cours des semaines suivante,
cela donne ceci :

Code:

' ------------------------------------------
'                --- j=i
'            i  \          j-1
' Vi = Vo(1-T)  + \ Vo.T(1-T)
'                /
'                /
'                --- j=0
'
' ------------------------------------------

DIM T:T=0.112  : ' Taux
DIM Volume:Volume=100 : ' pour 100 litres

' Evolution du mélange sur 4 semaines
Calc(4)
END

SUB Calc(n)
  DIM_LOCAL i,j,Va,x
  FOR i=1 TO n
  Va=Volume*POWER(1-T,i)
  x= (Volume*T)
  PRINT "Semaine ";i
  PRINT " Ajout de ";x;" litres"
  IF i<>1
    FOR j=1 TO i-1
      x= INT(Volume*T*POWER(1-T,j)*100)/100
      PRINT " Reste de l'eau de la semaine ";i-j;": ";x;" litres"
    NEXT j
  END_IF
  PRINT " Eau d'origine :";INT(Va*100)/100;" litres"
  PRINT
  NEXT i
END_SUB

Tout ça reste théorique car on ne tient pas compte du taux d'évaporation...