Calcul du périmètre de l’ellipse

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rem                    Calcul du périmètre de l’ellipse
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' Paramètres de l'ellipse :
' dim a,b : ' respectivement demi-grand axe et demi-petit axe de l'ellipse
' dim f   : ' focale       =   sqr(a*a - b*b)
' dim h   : ' rapport      =   ((a-b)*(a-b)) / ((a+b)*(a+b))
' dim e   : ' excentricité =   sqr((1-(b*b)/(a*a)))
' dim s   : ' aire         =   pi*a*b
' dim p   : ' périmètre    =   ??????
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rem Le calcul du périmètre de l’ellipse n’est pas une chose facile.
rem La formule de la valeur exacte est une intégrale elliptique du second ordre.
rem Elle est transcendante et n’a pas de solution analytique.
rem On la calcule par intégration numérique ou par approximations rationnelles.
rem
rem Pour une ellipse donnée par son équation paramètrique :
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rem                     |                  |
rem                     |  x = a * cos(t)  |
rem                     |  y = b * sin(t)  |
rem                     |  0 <= t <= 2*pi  |
rem                     |__________________|
rem                                
rem La formule exacte qui donne le périmètre est : (elle n’est pas facile à calculer)
rem   ________________________________________________________________________
rem  |                                                                        |
rem  |  p = 4*a*intégrale de 0 à pi/2 de la racine carrée de (1-e²*sin²t) dt  |  
rem  |________________________________________________________________________|
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rem Heureusement, il existe plusieurs approximations de la circonférence de
rem l’ellipse dont celle de Ramanujan qui donne une très bonne appoximation.
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rem    __________________________________________________
rem   |                                                  |
rem   |   Formule de Ramanujan :                         |
rem   |                                                  |
rem   |   p = pi * (3*(a+b) - sqr((3*a+b) * (a+3*b)))    |
rem   |__________________________________________________|

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dim t$
dim a,b
' Application :
' Calcul de la longueur du méridien terrestre par les différentes formules avec
 a = 6378137         : ' Rayon à l'équateur terrestre.
 b = 6356752.3141    : ' Rayon au pôle.
 
application_title "Calcul du périmètre de l’ellipse"
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t$ = "Approximation de Ramanujan :" + chr$(13)
t$ = t$ + "Longueur calculée du méridien terrestre : "
t$ = t$ + str$(Circonference_Ellipse_Ramanujan(a,b)) + " m" + chr$(13)
t$ = t$ + "Longueur réelle du méridien terrestre      : 40007862.9164813 m"
Message t$

t$ = "Approximation de Kepler :" + chr$(13)
t$ = t$ + "Longueur calculée du méridien terrestre : "
t$ = t$ + str$(Circonference_Ellipse_Kepler(a,b)) + " m" + chr$(13)
t$ = t$ + "Longueur réelle du méridien terrestre      : 40007862.9164813 m"
Message t$

t$ = "Approximation de Sipos :" + chr$(13)
t$ = t$ + "Longueur calculée du méridien terrestre : "
t$ = t$ + str$(Circonference_Ellipse_Sipos(a,b)) + " m" + chr$(13)
t$ = t$ + "Longueur réelle du méridien terrestre      : 40007862.9164813 m"
Message t$

t$ = "Approximation naïve :" + chr$(13)
t$ = t$ + "Longueur calculée du méridien terrestre : "
t$ = t$ + str$(Circonference_Ellipse_Naive(a,b)) + " m" + chr$(13)
t$ = t$ + "Longueur réelle du méridien terrestre      : 40007862.9164813 m"
Message t$

t$ = "Approximation de Peano :" + chr$(13)
t$ = t$ + "Longueur calculée du méridien terrestre : "
t$ = t$ + str$(Circonference_Ellipse_Peano(a,b)) + " m" + chr$(13)
t$ = t$ + "Longueur réelle du méridien terrestre      : 40007862.9164813 m"
Message t$

t$ = "Approximation d'Euler :" + chr$(13)
t$ = t$ + "Longueur calculée du méridien terrestre : "
t$ = t$ + str$(Circonference_Ellipse_Euler(a,b)) + " m" + chr$(13)
t$ = t$ + "Longueur réelle du méridien terrestre      : 40007862.9164813 m"
Message t$

terminate
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' Très bonne approximation
FNC Circonference_Ellipse_Ramanujan(a,b)
    result pi * (3*(a+b) - sqr((3*a+b) * (a+3*b)))
END_FNC
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' C'ést la 1ère approximation utilisée par Johannes Kepler
FNC Circonference_Ellipse_Kepler(a,b)
    result 2*pi*sqr(a*b)
END_FNC
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' Meilleure approximation que celle de Kepler
FNC Circonference_Ellipse_Sipos(a,b)
    dim_local n,d
    n = (a+b) : n = n*n
    d = sqr(a)+sqr(b) : d = d*d
    result 2*pi*(n/d)
END_FNC
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' Approximation naïve mais meilleure que celle de Kepler
FNC Circonference_Ellipse_Naive(a,b)
    result pi*(a+b)
END_FNC
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' Très bonne approximation
FNC Circonference_Ellipse_Peano(a,b)
    result pi*(3*(a+b)/2 - sqr(a*b))
END_FNC
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FNC Circonference_Ellipse_Euler(a,b)
    result pi * sqr(2*(a*a+b*b))
END_FNC
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