Spirale de Ulam

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rem            Spirale de Ulam
rem              Par Papydall
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rem Stanislas Marcin Ulam assistait à une conférence fort ennuyeuse et longue.
rem Pour tromper l ennui, il prit son crayon et écrivit les entiers naturels en
rem colimaçon en utilisant les carreaux de sa page.
rem Puis il noircit les cases occupées par les nombres premiers.
rem Il s apperçut que d étranges alignements apparaissaient qu il fallait expliquer.
rem La spirale qui porte son nom était née.
rem On l’appelle aussi spirale des nombres premiers ou horloge d’Ulam.
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rem En effet, ces alignements correspondent à des polynômes du 2ème degré du type:
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rem               |                      |
rem               |  y = a.x² + b.x + c  |
rem               |______________________|                      |
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rem Déjà Euler avait proposé la formule n² - n + 41 qui, pour n compris entre 1
rem et 40 ne donne que des nombres premiers.
rem Les plus célèbres sont les suivantes:
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rem               |                         |
rem               |  y = 4x² + 4x   + 3     |
rem               |  y = 4x² + 18x  + 26    |
rem               |  y = 4x² + 24x  + 43    |
rem               |  y = 4x² + 12x  + 7     |
rem               |  y = 4x² + 162x + 1681  |
rem               |  y = x²  + x    + 17    |
rem               |  y = x²  + x    + 41    | <---- Formule découverte par Euler
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Init()
' Exécutez successivement ces deux Spirales
 Spirale_Ulam(12)
' Spirale_Ulam_2(70)
caption 0,"Terminé"
end
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SUB Init()
    dim prem, p, q, c1, c2, i, j, n$
    width 0,screen_y : height 0,screen_y
    picture 10 : width 10,width(0)-50 : height 10,height(0)-50
    top 10,10  : left 10,25 : color 10,0,0,0
    print_target_is 10 : 2d_target_is 10 : font_color 10,0,0,0 : font_bold 10
    c1 = width(10)/2-40  : c2 = height(10)/2-40+30
    2d_pen_color 255,0,0 : 2d_fill_on
    alpha 20 : top 20,20 : left 20,150 : font_bold 20 : font_size 20,14: font_color 20,200,100,50
    hide 20
END_SUB
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' Calculer la position d'un entier q quelconque
SUB placer(q)
    dim_local d : ' d est la distance entre le nombre q et le plus petit nombre de la couronne p.
    dim_local e : ' e+1 est le numéro du coté de la couronne où se trouve q.
    d = q - 2 * p * 2 * p - 1
    e = Int(d / (1 + 2 * p))
    select e
        case 0 : i = 0 + 4 * p * p + p - q + 1 : j = 0 - p
        case 1 : i = 0 - p : j = 0 - 4 * p * p - 3 * p - 1 + q
        case 2 : i = 0 - 4 * p * p - 5 * p - 2 + q : j = 0 + p + 1
        case 3 : i = 0 + p + 1 : j = 0 + 4 * p * p + 7 * p + 4 - q
    end_select
End_Sub
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' Déterminer si q est premier
SUB premier(q)
    dim_local a,m
    prem = 1
    m = 2 : a = 1
    While ((m * m <= q) And (a <> 0))
        a = mod(q,m) : m = m + 1
    end_while
    If ((a <> 0) And (q > 1))
       prem = 1
    Else
       prem = 0
    end_if
END_SUB
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SUB Spirale_Ulam(couronne)
    for p = 0 to couronne
        caption 0,"Couronne : " + str$(p)+ " / " + str$(couronne)
        for q = 4*p*p+1 to (2*p+2)*(2*p+2)
            n$ = str$(q)
            while len(n$) < 3 : n$ = "0" + n$ : end_while
            Premier(q) : Placer(q)
            if prem = 1
              2d_fill_color 255,0,0 : 2d_circle 10+c1+30*i,8+c2+30*j,15
            end_if
            if n$ = "001"
               font_color 10,255,255,255 : 2d_fill_color 0,0,255
            else
               font_color 10,000,000,000 : 2d_fill_color 255,255,0
            end_if
            print_locate c1+30*i,c2+30*j : print n$
       next q
    next p
    caption 20," Les cercles rouges contiennent les nombres premiers " : show 20
END_SUB
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SUB Spirale_Ulam_2(couronne)
    for p = 0 to couronne
        caption 0,"Couronne : " + str$(p)+ " / " + str$(couronne)
        for q = 4*p*p+1 to (2*p+2)*(2*p+2)
            n$ = str$(q)
            while len(n$) < 3 : n$ = "0" + n$ : end_while
            Premier(q) : Placer(q)
            if prem = 1
                2d_pen_color 255,0,0 : 2d_circle c1+4*i,c2+4*j,2
            end_if
       next q
    next p
    caption 20," Observez ces alignements des nombres premiers " : show 20
END_SUB
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rem         Une autre spirale
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dim xc,yc,c,c2,theta,r,i,x,y
full_space 0 : color 0,0,0,0 : 2d_fill_on
xc = width(0)/2 : yc = height(0)/2
c = 4 : c2 = 1.5*c
for i = 1 to 4000
    theta = sqr(i) * 2 * pi : r = sqr(i)
    x = 0-cos(sqr(i)*2*pi)*sqr(i)
    y = sin(sqr(i)*2*pi)*sqr(i)
    2d_fill_color mod(theta,255),abs(255-theta),mod(theta,100)
    2d_circle xc+c2*x,yc+c2*y,c
next i
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rem         Spirale carrée
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dim x, y, pas , dist, NbTour
width 0 , screen_x *.75  : height 0 , screen_y *.75
x = width(0)/2 : y = height(0)/2
pas    = 1  : ' pas de déplacement
dist   = 10 : ' distance entre les spires
NbTour = 50 : ' Nombre de spires de la spirales
2d_pen_width 2 : 2d_poly_from x, y : ' Départ
repeat
    y = y + dist*pas : 2d_poly_to x,y : ' Vers le bas
    x = x + dist*pas : 2d_poly_to x,y : ' Vers la droite
    pas = pas + 1    : ' pour ne pas repasser ultérieurement par un point déjà parcouru
    y = y - dist*pas : 2d_poly_to x,y : ' Vers le haut
    x = x - dist*pas : 2d_poly_to x,y : ' Vers la gauche
    pas = pas + 1
until pas > NbTour
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