TRIGONOMETRIE CIRCULAIRE

rem ============================================================================
rem         TRIGONOMETRIE CIRCULAIRE
rem             PAR PAPYDALL
rem ============================================================================

Init()
Definition()
Tracer_Cercle_Trigo()
end
rem ============================================================================
SUB Init()
    label clic
    dim sx,sy,t$,nl$,n
    full_space 0
    sx = screen_x : sy = screen_y : nl$ = chr$(13)
    container 10 : top 10, 10 : left 10,10 : width 10, sx/3 : height 10,sy-100
        alpha 11 : parent 11,10 : top 11,10 : left 11,50 : font_bold 11
        font_size 11,14 : color 11,255,0,0 : caption 11 ,"TRIGONOMETRIE CIRCULAIRE"
        alpha 12 : parent 12,10 : top 12,50 : left 12,20 : font_bold 12
        font_size 12,12
        color 10, 192,192,100
        button 13 : parent 13,10 : top 13,height(10)-50 : left 13,150 : on_click 13,clic
        button 14 : parent 14,10 : top 14,height(10)-50 : left 14,250 : on_click 14,clic
        caption 14,"Quitter"
    picture 20 : top 20, 10 : left 20, 20+ width(10) : width 20, 2*sx/3-50
        height 20,sy-100 : color 20, 100,200,250
    font_color 0,255,0,0 : font_bold 0 : font_size 0,12

END_SUB
rem ============================================================================
SUB Definition()
    caption 13, "Suite"
    t$ = ""
    t$ = t$ + "Soit un cercle de centre O et de rayon 1." + nl$
    t$ = t$ + "    1 quoi ?" + nl$
    t$ = t$ + "Une unité de mesure !"+nl$
    t$ = t$ + "ça pourrait être "+nl$
    t$ = t$ + "la longueur d'une règle,"+nl$
    t$ = t$ + "celle d'un baton," + nl$
    t$ = t$ + "l'ouverture d'un compas,"+nl$
    t$ = t$ + "la distance entre les extrémités de mon pouce et de mon"+nl$
    t$ = t$ + "auriculaire; bref n'importe quelle unité de mesure." +nl$ +nl$
    
    t$ = t$ + "On choisit un sens de parcours sur ce cercle : "+nl$
    t$ = t$ + "*   Sens posifif c'est le sens anti-horaire"+nl$
    t$ = t$ + "   Ce sens est appelé le sens trigonométrique" +nl$
    t$ = t$ + "   (contraire des aiguilles d'une montre)."+nl$
    t$ = t$ + "*   Sens négatif c'est le sens des aiguilles d'une montre."+nl$
    t$ = t$ + "L'origine du parcours est le point A d'abscisse +1."+nl$+nl$+nl$
    t$ = t$ + "DEFINITION :"+nl$
    t$ = t$ + "On appelle CERCLE TRIGONOMETRIQUE,"+nl$
    t$ = t$ + "un cercle de rayon l'unité de mesure"+nl$
    t$ = t$ + "sur lequel on a défini un sens positif de parcours."+nl$ +nl$+nl$
    
    caption 12,t$
END_SUB
rem ============================================================================
SUB Suite_1()
    t$ = ""
    t$ = t$ + "Traçons deux axes perpendiculaires et passant par"+nl$
    t$ = t$ + "le centre O du cercle."+nl$
    t$ = t$ + "Orientons ces deux axes comme sur la figure ci-contre"+nl$
    t$ = t$ + "*   L'axe horizontal (l'axe des abscisses)"+nl$
    t$ = t$ + "    est orienté vers la droite (sens positif)"+nl$
    t$ = t$ + "*   L'axe vertical (l'axe des ordonnées)"+nl$
    t$ = t$ + "    est orienté vers le haut (sens positif)"+nl$+nl$
    
    t$ = t$ + "Ces deux axes coupent le cercle aux points : "+nl$
    t$ = t$ + "A  d'abscisse +1" + nl$
    t$ = t$ + "A' d'abscisse -1" + nl$
    t$ = t$ + "B  d'ordonnée +1" + nl$
    t$ = t$ + "B' d'ordonnée -1" + nl$
    t$ = t$ + "Rappelez-vous : le rayon du cercle vaut 1"+nl$
    t$ = t$ + "et nos axes sont orientés."+nl$+nl$
    
    t$ = t$ + "Considérons un point M sur le cercle"+ nl$
    t$ = t$ + "et traçons la demi-droite passant par l'origine" + nl$
    t$ = t$ + "et ce point M." +nl$
    t$ = t$ + "Cette demi-droite forme avec l'axe horizontal" + nl$
    t$ = t$ + "un angle positif +a" + nl$
    t$ = t$ + "N'oubliez pas que notre cercle est orienté." + nl$ + nl$
    
    t$ = t$ + "Projettons orthogonalement le point M"+ nl$
    t$ = t$ + "sur les deux axes : on obtient" +nl$
    t$ = t$ + "le point P sur l'axe horizontal" + nl$
    t$ = t$ + "et le point Q sur l'axe vertical." + nl$
    t$ = t$ + "Voir la figure ci-contre." + nl$

    caption 12,t$
END_SUB
rem ============================================================================
SUB Suite_2()
     t$ = ""
     t$ = t$ + "* En quelle unité est exprimé l'angle a ?" + nl$
     t$ = t$ + "L'angle a est exprimé en RADIANS (symbole rad)." + nl$
     t$ = t$ + "Le radian est l'unité du système international qui" + nl$
     t$ = t$ + "mesure les angles plans." + nl$+nl$
    
     t$ = t$ + "DEFINITION :" +nl$
     t$ = t$ + "Un angle d'un radian intercepte sur la circonférence" + nl$
     t$ = t$ + "de ce cercle un arc d'une longueur égale au rayon." + nl$+nl$
    
     t$ = t$ + "Un tour complet équivaut à 2pi radians,"+nl$
     t$ = t$ + "360 degrés, 400 grades."+nl$
     t$ = t$ + "Un radian vaut environ 57.3°" +nl$
     t$ = t$ + "Un degré vaut approximativement 17.5 milliradians"+nl$+nl$
    
     t$ = t$ + "Les formules de conversion entre les degrés et "+nl$
     t$ = t$ + "les radians sont :"+nl$
     t$ = t$ + "360° correspondent à 2pi radians " +nl$
     t$ = t$ + "1° correspond à pi/180 radians." +nl$+nl$
    
     t$ = t$ + "* Mais pourquoi n'utilise-t-on pas les degrés ?" +nl$
     t$ = t$ + "C'est plus simple, non?" +nl$
     t$ = t$ + "L'utilisation des radians est impérative lorsque"+nl$
     t$ = t$ + "l'on dérive ou intègre une fonction trigonométrique." +nl$
     t$ = t$ + "L'angle pouvant se retrouver en facteur, " + nl$
     t$ = t$ + "seule la valeur en radians a un sens." + nl$
     t$ = t$ + "De ce fait, le calcul des fonctions trigonométriques" + nl$
     t$ = t$ + "suppose l'expression des angles en radians." +nl$
    
     caption 12,t$
END_SUB
rem ============================================================================
SUB Suite_3()
    t$ = ""
    t$ = t$ + "Observez la figure ci-contre"+nl$
    t$ = t$ + "et n'oubliez surtout pas que notre cercle est orienté" +nl$
    t$ = t$ + "ainsi que nos deux axes (des abscisses et des ordonnées)."+nl$
    t$ = t$ + "Ceci veut dire que toutes les mesures sont algébriques."+nl$
    t$ = t$ + "C'est-à-dire pouvant être positives, négatives ou nulles."+nl$+nl$
    
    t$ = t$ + "Considérons le triangle OPM, rectangle en P"+nl$+nl$
    
    t$ = t$ + "DEFINITIONS :"+nl$
    t$ = t$ + "1) On appelle  sinus de l'angle a, noté sin(a), le rapport de" +nl$
    t$ = t$ + "la mésure algébrique du côté OPPOSE sur l'hypothénuse"+nl$
    t$ = t$ + "sin(a) = PM / OM."+nl$
    t$ = t$ + "Comme OM est le rayon du cercle, il vaut 1 par définition"+nl$
    t$ = t$ + "sin(a) = PM / 1 = PM." +nl$ +nl$
    
    t$ = t$ + "2) On appelle  cosinus (prononcez co-sinus et non cozinus)" +nl$
    t$ = t$ + "de l'angle a, noté cos(a), le rapport de" +nl$
    t$ = t$ + "la mésure algébrique du côté ADJACENT sur l'hypothénuse."+nl$
    t$ = t$ + "cos(a) = OP / OM."+nl$
    t$ = t$ + "Comme OM est le rayon du cercle, il vaut 1 par définition"+nl$
    t$ = t$ + "cos(a) = OP / 1 = OP" +nl$ +nl$
    
    t$ = t$ + "On voit tout de suite que cos(a) et sin(a) ne sont en fait"+nl$
    t$ = t$ + "que les coordonnées(abscisse et ordonnée) du point M."+nl$
    
    caption 12,t$
END_SUB
rem ============================================================================
SUB Suite_4()
    t$ = ""
    t$ = t$ + "L'axe horizontal (l'axe des abscisses) c'est l'axe des COSINUS."+nl$
    t$ = t$ + "L'axe vertical (axe des ordonnées) c'est l'axe des SINUS."+nl$
    t$ = t$ + "Comme ces deux axes sont délimités par les valeurs -1 et +1"+nl$
    t$ = t$ + "Le sinus et le cosinus d'un angle sont toujours compris entre"+nl$
    t$ = t$ + "les valeurs -1 et +1 (bornes comprises)."+nl$+nl$
    
    t$ = t$ + "RETENONS:"+nl$
    t$ = t$ + "Sin ---- > côté oppoSé"+nl$
    t$ = t$ + "Cos ---- > côté adjaCent" + nl$ +nl$
    
    t$ = t$ + "Relation fondammentale : " +nl$
    t$ = t$ + "Considérons le triangle OPM, rectangle en P." + nl$
    t$ = t$ + "Appliquons le théorème de Pythagore sur ce triangle." +nl$
    t$ = t$ + "RAPPEL :" +nl$
    t$ = t$ + "Dans un triangle rectangle, la somme des carrés"+nl$
    t$ = t$ + "de deux côtés de l'angle droit est égale au"+nl$
    t$ = t$ + "carré de l'hypoténuse."+nl$
    t$ = t$ + "OP² + PM² = OM²"+nl$
    t$ = t$ + "OP c'est cos(a)"+nl$
    t$ = t$ + "PM c'est sin(a)"+nl$
    t$ = t$ + "OM = 1"+nl$
    t$ = t$ + "Ce qui donne : " +nl$
    t$ = t$ + "sin²(a) + cos²(a) = 1" + nl$
    
    caption 12,t$
END_SUB
rem ============================================================================
SUB Suite_5()
    t$ = ""
    t$ = t$ + "Traçons la tangente au cercle passant par" +nl$
    t$ = t$ + "le point A." +nl$
    t$ = t$ + "Cette tangente coupe la droite OM, au"+nl$
    t$ = t$ + "point T. (Voir la figure ci-contre)"+nl$
    t$ = t$ + "Définition:"+nl$
    t$ = t$ + "On appelle tangente de l'angle a, notée tg(a) ou tan(a)" +nl$
    t$ = t$ + "la mesure algébrique de AT."+nl$+nl$
    
    t$ = t$ + "Exprimons cette valeur en fonction de sin(a) et de cos(a)."+nl$
    t$ = t$ + "Les deux triangles OPM et OAT sont rectangles,"+nl$
    t$ = t$ + "respectivement en P et en A."+nl$
    t$ = t$ + "Ils ont en plus un angle en commun, c'est l'angle a."+nl$
    t$ = t$ + "Ils sont donc semblables."+nl$
    t$ = t$ + "Nous avons, alors (par similitude) : "+nl$
    t$ = t$ + "(PM / OP) = (AT / OA)"+nl$
    t$ = t$ + "Comme PM c'est le sinus de a,"+nl$
    t$ = t$ + "OP c'est le cosinus de a"+nl$
    t$ = t$ + "OA = +1"+nl$
    t$ = t$ + "Il vient : "+nl$
    t$ = t$ + "sin(a) / cos(a) = AT / 1 = AT"+nl$
    t$ = t$ + "AT est par définition la tangente de l'angle a."+nl$+nl$
    t$ = t$ + "D'où tan(a) = sin(a) / cos(a)"+nl$
    
    caption 12,t$
END_SUB
rem ============================================================================
SUB Suite_6()
    t$ = ""
    t$ = t$ + "Traçons la tangente au cercle passant par" +nl$
    t$ = t$ + "le point B." +nl$
    t$ = t$ + "Cette tangente coupe la droite OM, au"+nl$
    t$ = t$ + "point T'. (Voir la figure ci-contre)"+nl$
    t$ = t$ + "Définition:"+nl$
    t$ = t$ + "On appelle cotangente de l'angle a, notée cotg(a) ou cotan(a)" +nl$
    t$ = t$ + "la mesure algébrique de BT'."+nl$+nl$
    
    t$ = t$ + "Exprimons cette valeur en fonction de sin(a) et de cos(a)."+nl$
    t$ = t$ + "Les deux triangles OQM et OBT' sont rectangles,"+nl$
    t$ = t$ + "respectivement en Q et en B."+nl$
    t$ = t$ + "Ils ont en plus un angle en commun."+nl$
    t$ = t$ + "Ils sont donc semblables."+nl$
    t$ = t$ + "Nous avons, alors (par similitude) : "+nl$
    t$ = t$ + "(QM / OQ) = (BT' / OB)"+nl$
    t$ = t$ + "Comme QM = OP c'est le cosinus de a,"+nl$
    t$ = t$ + "OQ = PM c'est le sinus de a"+nl$
    t$ = t$ + "OB = +1"+nl$
    t$ = t$ + "Il vient : "+nl$
    t$ = t$ + "cosin(a) / sin(a) = BT' / 1 = BT'."+nl$
    t$ = t$ + "BT' est par définition la cotangente de l'angle a."+nl$+nl$
    t$ = t$ + "D'où cotan(a) = cosin(a) / sin(a) = 1 / tan(a)"+nl$
    caption 12,t$
END_SUB
rem ============================================================================
SUB Suite_7()
    t$ = ""
    t$ = t$ + "Résumons:" + nl$+nl$
    t$ = t$ + "sin(a)   = PM : c'est l'ordonnée du point M."+nl$
    t$ = t$ + "cosin(a) = OP : c'est l'abscisse du point M."+nl$
    t$ = t$ + "tan(a)   = AT  = sin(a) / cos(a)"+nl$
    t$ = t$ + "cotan(a) = BT' = cosin(a) / sin(a) = 1 / tan(a)"+nl$
    
     caption 12,t$ : caption 13,"Début"
END_SUB
rem ============================================================================
rem ============================================================================
SUB Tracer_Cercle_Trigo()
    dim_local xo,yo,r,i,pi,p,s,c,t,a
    pi = acos(-1) : p = pi/180 : a = pi/5 : s = sin(a) : c = cos(a) : t = tan(a)
    xo = width(20)/2 : yo = height(20)/2  : ' Coordonnées du centre du cercle
    r = xo /2  : ' Rayon du cercle
    2d_target_is 20 : 2d_pen_width 3 : 2d_circle xo,yo,r
' Tracé de l'angle
    2d_poly_from xo+20,yo
    for i = 0 to a step p : 2d_poly_to xo+20*cos(i),yo-20*sin(i) : next i
    2d_poly_to xo+20*c,yo-20*s+5 : 2d_poly_to xo+20*c+5,yo-20*s+5
    2d_poly_to xo+20*c,yo-20*s
' ------------------------------------------------------------------------------
' Tracé du sens positif
    2d_poly_from xo+(r+50)*cos(pi/20),yo-(r+50)*sin(pi/20)
    for i = pi/20 to pi/8 step p : 2d_poly_to xo+(r+50)*cos(i),yo-(r+50)*sin(i) : next i
    i = pi/8
    2d_poly_to xo-5+(r+50)*cos(i),yo+20-(r+50)*sin(i)
    2d_poly_to xo+15+(r+50)*cos(i),yo+15-(r+50)*sin(i)
    2d_poly_to xo+(r+50)*cos(i),yo-(r+50)*sin(i)
    2d_flood xo+(r+50)*cos(i),yo+16-(r+50)*sin(i),0,0,0
    2d_flood xo+10+(r+50)*cos(i),yo+13-(r+50)*sin(i),0,0,0
' ------------------------------------------------------------------------------
' Tracé du sens négatif
    2d_poly_from xo+(r+50)*cos(pi/20),yo+(r+50)*sin(pi/20)
    for i = 0-pi/20 to 0-pi/8 step 0-p : 2d_poly_to xo+(r+50)*cos(i),yo-(r+50)*sin(i) : next i
    i = 0-pi/8
    2d_poly_to xo-5+(r+50)*cos(i),yo-20-(r+50)*sin(i)
    2d_poly_to xo+15+(r+50)*cos(i),yo-15-(r+50)*sin(i)
    2d_poly_to xo+(r+50)*cos(i),yo-(r+50)*sin(i)
    2d_flood xo+(r+50)*cos(i),yo-16-(r+50)*sin(i),0,0,0
    2d_flood xo+10+(r+50)*cos(i),yo-13-(r+50)*sin(i),0,0,0
' ------------------------------------------------------------------------------
' Tracé de l'axe horizontal
    2d_line 50,yo,2*xo-50,yo
' Tracé de la flèche horizontale
    2d_poly_to 2*xo-60,yo-10  : 2d_poly_to 2*xo-60,yo+10 : 2d_poly_to 2*xo-50,yo
' Flood de la flèche horizontale
    2d_flood  2*xo-55,yo+2 ,0,0,0 : 2d_flood  2*xo-55,yo-2 ,0,0,0
' Tracé de l'axe vertical
    2d_line xo,2*yo-50, xo,50
' Tracé de la flèche verticale
    2d_poly_to xo-10,60  : 2d_poly_to xo+10,60 : 2d_poly_to xo,50
' Flood de la flèche verticale
    2d_flood xo-3,55,0,0,0 : 2d_flood xo+2,55,0,0,0
' Tracé de la Demi-droite OM
    2d_line xo,yo,xo +3* r*c,yo -3*r*s
' Tracé de la Projection du point M sur l'axe X
    2d_line xo + r*c, yo-r*s, xo+r*c,yo
' Tracé de la Projection sur l'axe Y
    2d_line xo + r*c, yo-r*s, xo,yo-r*s
' Tracé de  la droite AT (tengante verticale au cercle)
    2d_line xo+r,yo+2*r,xo+r,yo-2*r
' Tracé de  la droite AT' (tengante horizontale au cercle)
    2d_line xo-2*r,yo-r,xo+2*r,yo-r
' Affichage de l'origine
    print_locate width(10) + xo+5,yo+12    : print "0"
' Affichage du point A' / -1
    print_locate width(10) + xo-r,yo+12    : print "-1"
    print_locate width(10) + xo-r,yo-12    : print "A'"
' Affichage du point A  / +1
    print_locate width(10) + xo+r+25,yo+12 : print "+1"
    print_locate width(10) + xo+r+25,yo-12 : print "A"
' Affichage du point B  / +1
    print_locate width(10) + xo-5,yo-12-r  : print "+1"
    print_locate width(10) + xo-5,yo-36-r  : print "B"
' Affichage du point B' / 11
    print_locate width(10) + xo,yo+12+r    : print "-1"
    print_locate width(10) + xo,yo+36+r    : print "B'"
' Affichage du point M
    print_locate width(10) + xo +10 + r*c,yo -16-r*s : print "M"
' Affichage du point P
    print_locate width(10) + xo+12+r*c,yo+16         : print "P"
' Affichage du point Q
    print_locate width(10) + xo,yo-r*s               : print "Q"
' Affichage du point T
    print_locate width(10) + xo+5+r,yo-10-r*t        : print "T"
' Affichage du point T'
    print_locate width(10) + xo+5+r/t,yo-15-r        : print "T'"
' Affichage de l'angle a
    print_locate width(10) + xo+50,yo-11             : print "+a"
' Affichage du sens +
    print_locate width(10) + xo+r+80,yo-80 : print " + "
' Affichage du sens -
    print_locate width(10) + xo+r+80,yo+80 : print " - "
END_SUB
rem ============================================================================
clic:
   if number_click = 14 then terminate
   if caption$(13) = "Début" then n = 0 : Definition() : return
   n = n + 1
   select n
      case 1 : Suite_1()
      case 2 : Suite_2()
      case 3 : Suite_3()
      case 4 : Suite_4()
      case 5 : Suite_5()
      case 6 : Suite_6()
      case 7 : Suite_7()
   end_select
return
rem ============================================================================

dim pi,p,i,a
pi = acos(-1) : p = pi/180

2d_poly_from 50,350
2d_poly_to 450,350 : 2d_poly_to 450,50 : 2d_poly_to 50,350
for i = 0 to acos(4/5) step p
    2d_poly_to 50+30*cos(i),350-30*sin(i)
next i
print_locate 0,10
print "AB = 400"
print "BC = 300"
print "AC = 500" : print
print "L'angle A se calcule à l'aide de l'une ou l'autre"
print "de ces formules qui donnent toutes le même résultat"

' Toutes ses formules permettent de calculer la valeur de l'angle A
print " A = acos(AB/AC) :  en radians"
print " A = acos(AB/AC)*180/pi :  en degrés"
print " A = asin(BC/AC) :  en radians"
print " A = asin(BC/AC)*180/pi : en degrés"
print " A = atn(BC/AB) :  en radians"
print " A = atn(BC/AB)*180/pi) : en degrés"

print_locate 050,360 : print "A"
print_locate 450,360 : print "B"
print_locate 450,030 : print "C"

print_locate 0,400
print " L'angle A vaut " + str$(acos(400/500)) + " radians soit " + str$((acos(400/500)*180/pi)) + "degrés"
print " L'angle C vaut " + str$(acos(300/500)) + " radians soit " + str$((acos(300/500)*180/pi)) + "degrés"
' La somme de ces deux angles doivent donner 90°